洛朗级数

Theorem (Laurant 定理).

在圆环 内解析的函数 必可以展开成双边幂级数，即Laurant 级数
其中Laurant 系数
为圆周 ，并且展开式唯一.

展开洛朗级数直接暴力展开即可.

奇点

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判断奇点特性

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解析函数在无穷远点处的性质

由于函数 在 总是无意义的，所以点 总是 的奇点.

Example 1

对于函数

它是有理分式函数，分母的零点 是这个函数的极点，下面考虑它们的阶.

是分母的一阶零点，且不是分子 的零点，故 是 的一阶极点. 注意到 ,

于是 也是 的一阶极点.

接下来考虑 ，因为

其中 在 解析，且 ，因此 是 的一阶零点.

Example 2

对于函数

它只有 作为奇点， 作为 的三阶极点， 在 的主要部分 (即正幂) 为零，故 是 的可去奇点.

由于 以 为二阶极点，故 以 为二阶零点.

Example 3

对于函数

解 得到 的零点

又因为 ，所以 都是 的一阶零点. 于是 都是 的一阶极点.

当 时，. 故点 是 的非孤立奇点，即极点列 的聚点.

多值函数的洛朗展式

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通过洛朗展式判断极点阶数

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整函数与亚纯函数

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整函数可表示为

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证明 的整函数有零点

Exercise.

设 ，当 时 . 证明： 必有一个零点.

Proof.
由于 是整函数，故只有 作为孤立奇点，于是可设

又由题设

可见 为 的可去奇点，从而 为 的一阶极点，从而

于是 必然有且仅有一个零点.

□

亚纯函数在周线 内只有有限个零点和极点

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Schwarz lemma

Lemme de Schwarz — Wikipédia

Statement

Let be a holomorphic function on the open unit disk

Such that:

  1. ,
  2. for all .

Then:

  1. for all ,
  2. ,
  3. Moreover, if equality holds at any point other than 0 (i.e., if for some ), or if , then for some real constant .

If for some , may not be a rotation. Consider ; it satisfies the conditions, and , but .

Proof

The proof is a straightforward application of the maximum modulus principle on the function

which is holomorphic on the whole of , including at the origin (because is differentiable at the origin and fixes zero). Now if denotes the closed disk of radius centered at the origin, then the maximum modulus principle implies that, for , given any , there exists on the boundary of such that

As we get .

Moreover, suppose that for some non-zero , or . Then, at some point of . So by the maximum modulus principle, is equal to a constant such that . Therefore, , as desired.

General Schwarz lemma

If , then let

Then . Apply Schwarz lemma,

i.e.

Schwarz 引理的应用

Exercise (cmc 第八届高年级决赛).

设函数 在单位圆 内解析，并且 ， 为常数. 证明：

Proof.
令 ，做变换

则该变换将单位圆 映射为 . 由 Schwarz 引理 . 由于

则

从而

□

推广到 阶导数

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课堂练习

Exercise.

设 在 内解析，，, 则 .

这类涉及解析函数在特定区域（通常是单位圆盘）内满足某些条件（如 和其值域受限），并要求证明其导数在某点（通常是原点）的模有界的题目，通常采用以下标准解题方法：

解题步骤 📝
  1. 确定函数的定义域和值域限制
    • 定义域 (D)：通常是单位圆盘 。
    • 标准化条件：常见的有 。
    • 值域 (S)：根据题目条件确定 的取值范围。例如， 表示值域是带形区域 ； 表示值域是圆盘 ； 表示值域是右半平面。
  2. 构造辅助保形映射 (Conformal Mapping) 🗺️
    • 寻找一个解析函数 ，它能将 的值域 保形地映射到单位圆盘 ()。
    • 这个映射 需要将对应于 的点（在中，通常是0点）映射到单位圆盘 的原点。即，如果 (在中)，则需要 。在常见的 条件下，我们需要 。
  3. 构造复合函数 🧩
    • 定义一个新的函数 。
    • 验证 的性质：
      • 在原定义域 () 内解析（因为 和 均解析）。
      • （利用标准化条件和 的选取）。
      • 将单位圆盘 映射到单位圆盘 ( for )。
  4. 应用施瓦茨引理 (Schwarz's Lemma) ✨
    • 由于 满足施瓦茨引理的条件（解析于 ， ， ），我们可以得到结论：
      • for all in .
      • (这是最关键的一步，用于求解导数界限)。
  5. 计算导数并建立不等式 ⚙️
    • 使用链式法则计算 ：。
    • 在 处取值：。由于 ，则 。
    • 将此代入施瓦茨引理的结论：。
    • 从而得到：。
  6. 求解目标界限 🎯
    • 从上一步的不等式解出 ：
      。
    • 是一个具体的数值，取决于所构造的保形映射 。计算出这个值，即可得到 的上界。
  7. 讨论等号成立条件 (Sharpness) 🧐
    • 等号 成立当且仅当施瓦茨引理中的等号 成立。
    • 这要求 ，其中 是一个常数。
    • 因此，，即 。
    • 这意味着使等号成立的函数 是将单位圆盘 保形映射（可能经过一个旋转 ）到区域 的那些极值函数。
    • 这个分析有助于判断题目要求的 （严格小于）还是 （小于等于）是否准确，并理解不等式的精确性。
常用保形映射示例：
  • 带形 到单位圆盘 ，且 映到 ：
    或 。
    对于 ， ，则 。
  • 右半平面 到单位圆盘 ，且 映到 (需调整以使 (如果 且 在边界) 或某特定点映射到0)：
    典型的如 (这映射 到 ，且 到 )。如果 的像点在中的某个位置 ，需要调整映射使得 。

通过这套流程，大部分此类问题都可以得到系统性的解决。关键在于正确识别 的值域 并找到合适的保形映射 。

Schwarz lemma and automorphisms of the disk

LectureNotes

We have see that every rotation , for fixed , is an automorphism of the disk. For define

which is also an automorphism of .

When , we have

Observe that

Then

By the Schwarz lemma, , and . Thus is identity map of . It follows that is bijection from to .

Theorem (Automorphism of ).

A map is an automorphism of iff there are and s.t.

Properties of

Remark.

这里的 和前面的定义差了一个负号，导致之前的 是幂等映射，而这里的 的逆为 .

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For , , , , evaluate the maximum of . Denote , then

Apply Schwarz lemma to , with then

At the same time, by Schwarz lemma, for any ,

Since is automorphism, replace by where , then

i.e.

The above two inequaltities is called Schwarz-pick lemma.

Schwarz-pick lemma

http://www.webpages.ttu.edu/jengwer/notes/SchwarzPickLemmas.pdf

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Applications of Schwarz lemma

Exercise (Stanford Ph. D test ).

(b) Suppose that is analytic with in and that where is a complex number with . Show that . What can you conclude if this holds with equality.

Proof.
Define

then is analytic in . When ,

which implies that for . Take , we obtain

When it holds with equality, we have , which is equivalent to

□

Exercise (Stanford).

(c) Determine all entire function that .

Proof.
(c) From , we know that has no zero in , which implies that is also an entire function. It follows from that , . Integrating on both sides, we obtain . Hence , where and are constants and .
□

Jensen's formula

考虑 的自同构

其中 .

Theorem (Jensen's formula).

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Proof.
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□

Interactive Graph
Table Of Contents
洛朗级数
奇点
判断奇点特性
解析函数在无穷远点处的性质
Example 1
Example 2
Example 3
多值函数的洛朗展式
通过洛朗展式判断极点阶数
整函数与亚纯函数

整函数可表示为

证明 的整函数有零点

亚纯函数在周线 内只有有限个零点和极点

Schwarz lemma
Statement
Proof
General Schwarz lemma
Schwarz 引理的应用

推广到 阶导数

课堂练习
解题步骤 📝
常用保形映射示例：
Schwarz lemma and automorphisms of the disk

Properties of

Schwarz-pick lemma
Applications of Schwarz lemma
Jensen's formula